数的演变过程

数的进化

回顾从自然数1,2,3,4,…开始,再加上分数、负数、无理数,直到成为实数的发展过程,可以说它很像许多涓涓细流汇成一条大河。 (注:本文涉及的自然数不包括0)

自然数添上分数,再添上负数就成为了有理数(当然还要添上0);有理数再加无理数就成为实数。可是光有实数还不够,再加上新来的虚数,这就诞生了更广泛的数——复数。

为什么在数的世界里,要从自然数扩大到实数呢?仔细想一想,这里有个一贯的原则。比如,有一个人只知道10以内的数。

1,2,3,…,10

当然,对这个人来说,加法也是不太行的。也就是说,即使取其中任意两个数相加,也有可能答不上来。如果是2+3,他知道是5。要是6+7的话,他只好说“不知道”了。即使他知道10000以内的数也是一样,因为6000+7000的答案不可能在10000以内的数里找出来。

因此,为了无限制地进行+运算,就必须有无限多的自然数。这样就产生了所谓无限多的自然数的整体的想法,这就是

1,2,3,…

想象有这样一个自然数的整体,就可以自由地进行+运算了。这时,自然数的整体对于+来说叫做闭合。由于乘法也是自然数的相乘,是加法的重复,因此也能自由地进行。也就是说,自然数的整体对于×是闭合的。

所以在只考虑+或×的时候,只要自然数就够用,没有必要考虑新的数。

可是,要考虑×的逆运算÷的时候,自然数就不再闭合。因为任意取两个自然数作除法,结果不一定是自然数。例如,2÷3的结果就不是自然数。

自然数的范围太狭窄了,要想自由地进行除法运算,就必须增加新的数,这就是分数。在自然数与分数合起来的更宽广的数的范围内,+,×,÷就可以自由地进行。

然而,想到+的逆运算-的时候,这个范围又窄了。因为不能小数减大数,例如2-5,即使写出这个式子,也得不出答案。

为了让这个式子也能有答案,就必须想出-3这样一个新数。也就是说,要自由地做-运算,需要有一种新的数——负数。

把数的范围扩大到正的自然数、负的自然数及分数,即有理数时,+,-,×,÷四则运算可以无限制地进行。换句话说,有理数对于四则运算是闭合的。

19世纪,数学家伽罗瓦把对于四则运算闭合的数的集合叫做域。按照这个叫法,也可以说整个有理数的集合是域。当然,叫域的除了有理数之外还有许多,对于我们来说,最熟悉的首先就是有理数。

当数的世界扩展到有理数时,+,-,×,÷计算虽然能自由地进行,但是还不具有连续性,所以仍然不能表示直线上所有的点。填满这些空缺就需要无理数,有理数与无理数合起来就是实数,有了实数就可以表示直线上所有的点。

总而言之,实数的集合就是对于+,-,×,÷闭合的一个域,同时还具有连续性。到此为止,似乎可以认为数的世界扩展暂时停止了。

可是,如果实数世界就是终点,数的交响乐不过是缺少最后乐章的未完成的交响乐而已。随着实数而来的最后的乐章就是复数。

四则逆运算

以前扩大数的世界时,在很多情况下,它的契机是逆运算。例如,由于×的逆运算÷而增加了新的分数;由+的逆运算-而产生了新的负数。从实数产生复数的契机也仍然基于逆运算。

假如我们对于x这样一个实数任意进行+,-,×,÷四则运算时,可得到以下的式子:

……

不管这些式子多么复杂,也只是+,-,×,÷的组合,所以只要x是实数,代入计算的值也是实数。

比如,设下面式子等于y:

假定这个式子是从x算出y的,这就是四则运算。

现在来考虑四则运算的逆运算,也就是从y求出x。例如,当y=2时,x等于多少呢?这个计算就是

为此,只要解答下面的式子求出x:

去掉分母:

移项得

解满足这个方程的x,结果呢?所谓

的逆运算不过是解代数方程

只此而已。

以前也有这样的事,就是逆运算比原来运算难,如-比+难,÷比×难。现在的情况也是如此,解代数方程的运算比四则运算难。

那么,在实数范围里,能不能自由地进行解代数方程的运算呢?答案是否定的。请看下面的实例。

在四则运算x2=y 中,要是反过来从y求x的话,就不是任何时候都能行得通的。如果y是正数,

可以求出实数x。如果y是负数,例如y=-1,就不能在实数范围内找出与之对应的x。因为(实数)² 不会是负数。

因此,在实数范围内,对于四则运算的逆运算“解代数方程”来说,不是闭合的。要想自由地解代数方程,就必须打破实数的框,导入新的数。这个新的数就是虚数。

代数学的基本定理

如果把数的世界扩大到复数,那么二次方程、三次方程以及z^n-1=0形式的n次方程就是有限的。而且不管什么情况,根的个数和方程的次数相同。

这个式子能不能再一般化呢?

也就是说,所有的n次代数方程

是不是一定有复数根呢?这件事大约在200年前就被设想过,但在漫长岁月里谁也不能证明。

首先证明这个事实的是20岁的青年高斯。他在1797年哥廷根大学的毕业论文里证明了这个事实。这个定理叫做代数学的基本定理,理由是解代数方程是代数学的最大任务。

这个定理保证了代数方程不论如何都有根存在,不用担心为了找出不存在的根而白费劲,可是即便知道有根,要找出它来也不是容易的事。

解一次方程是很早以前就知道的。二次方程也是很早以前知道解法的。但三次方程后来才找到解法。对于这件事,卡尔·达诺和塔尔 ·塔利亚争论不休。

到了四次方程可就难得多了,那是卡尔 ·达诺的弟子费拉里发现的。

方程的次数高了,方程的解法就像加速度一样变得更难。征服了四次方程的数学家们,又着眼于解五次方程。在很长的时期里,这是数学家进军的目标。

你问登山家:“为什么要登喜马拉雅山呢?”登山家回答:“因为它在那儿。”数学家也像登山家那样,把阻挡在眼前的五次方程作为目标,不断地发起突击。

然而,所有的突击都被挡了回来,人们就渐渐知道五次方程是格外棘手的目标。于是,人们开始重新考虑,虽然根的存在是根据代数学的基本定理而得到保证的,可是解方程的手段如何呢?

仔细推敲解方程的手段,到四次方程为止,根是可以用+,-,×,÷,还有开n次方等手段解出来。仍然只用以上手段能解五次方程吗?

就像不带氧气,只用冰镐和绳索已经不能登上喜马拉雅山那样,数学家开始怀疑用以前的手段不能解五次方程了。

挪威数学家阿贝尔从这种怀疑出发,终于证明了只用+,-,×,÷和开n次方不能解五次方程。

接着伽罗瓦把这个问题一般化,发现了只用+,-,×,÷和开n次方所能解的方程的形式。他因此所创立的群论使后来的数学发生了很大的革命。

文章来源于《数学与生活(修订版)》,作者为日本当代著名数学教育家远山启。图片来源于网络,侵删!

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