郑毓信:“数学深度教学”十讲之一 ——从“数学教育目标”讲起

引言

“深度教学”是教育领域的一个新热点,其在数学教育类刊物上的“出镜率”已达到了与“核心素养”等热词几乎持平的地步。但就整体而言,大多数文章还只是停留于“对‘教育浅层化、表层化’的直接反对”这样一个较肤浅的理解,从而清楚地表明了理论研究的滞后。当然,我们所需要的并非“大而空”的研究。例如,以下的论述无疑会使人望而生畏:“深度学习‘深’在哪里?首先‘深’在人的心灵里,‘深’在人的精神境界上,还‘深’在系统结构中,‘深’在教学规律中。”恰恰相反,我们应将理论研究与教学实践更好地结合起来,特别是应从学科教学的角度清楚指明“深度教学”的具体含义,并提供一些切实可行的教学建议,从而对于实际教学工作发挥一定的促进作用。这也正是本文的主要目标。

为了便于读者、特别是广大一线教师阅读,本文将采取“连续讲演”这样一种形式,即分成相对独立的十讲。以下就是相关的题目,希望有助于读者先行获得一个总体的印象:

(1)从“数学教育目标”讲起;

(2)“数学深度教学”的具体含义;

(3)什么样的数学教学要不得;

(4)内容的“方法论重建”与教学中的“问题引领”;

(5)思维的深刻性与“联系的观点”;

(6)思维的灵活性与“变化的思想”;

(7)“长时间思考”:反思与再认识;

(8)乐于思考、善于思考;

(9)积极的交流和互动;

(10)努力帮助学生学会学习。

应当如何理解数学教育的基本目标,包括课改以来在这方面所提出的各个新的理论主张?对此,相信不少读者会提及这样一个概括:“双基”是数学教育目标的1.0版,“三维目标”是2.0版,现今提倡的“(数学)核心素养”则是3.0版。那么,我们应如何去理解这里所说的“数学核心素养”呢?这就直接涉及以下的论述:“通过基础教育阶段的数学教育,不管接受教育的人将来所从事的工作是否与数学无关,终极培养目标都可以描述为:会用数学的眼光观察世界,会用数学的思维思考世界,会用数学的语言表达世界。

但在笔者看来,我们应该更深入地去思考这样一个问题:我们是否真的应当要求每个学生都能做到所说的“三会”,而不管他们将来所从事的工作是否与数学有关?

为了回答这一问题,还可举出这样一个例子,这个例子在一定程度上为我们提供了一个具体的画面,即如果人人都按所说的“三会”去思考和行事,我们所面临的将是一个怎样的世界?

【例1】从《红楼梦》看教育(《小学数学教师》,2019年第2期)。

这一文章的主要观点是:“《红楼梦》中有两个重要的主角,林黛玉和薛宝钗,她们的性格分别代表着数学中两种不同的问题解决策略——‘从条件想起’和‘从问题想起’。”具体地说,“林妹妹也许并不懂得数学中那些解决问题的策略,但其实她的性格特征倾向就是习惯‘从条件想起’…… 宝姐姐或许也不懂得数学中那些解决问题的策略,但其实她的性格特征倾向就是善于‘从问题想起’。”“‘从条件想起’的人行为动机是出于内心真实的感受,而‘从问题想起’的人的行为动机是出于某种想要达到的目的……‘从条件想起’和‘从问题想起’出发点不一样,它们所经历的过程以及对新问题的生成影响也都是不一样的。‘从条件想起’就像林黛玉堆起的落花冢,无用,但能触及更多人的心灵;‘从问题想起’就像薛宝钗服用的冷香丸,实用,但只为解决她一个人的病症。”

这是否可以被看成数学的一个具体应用,特别是较好地做到了“用数学的眼光观察世界,用数学的思维思考世界,用数学的语言表达世界”?进而,如此观察、思考和表达世界究竟是优点,还是把一件本来不很复杂的事情搞复杂了?

在笔者看来,这一做法将一个丰富多彩的真实世界硬性嵌入到冰冷的数学樊笼之中,或者说,用一个缺少人味的量的世界代替了“我们的质的和感知的世界,我们在里面生活着、爱着、死着的世界”(柯伊莱语)。

当然,一个实例就是一个实例,似乎不应借此“大做文章”!但即使从纯理论的角度进行分析,“三会”这一提法应当说也有不少问题。例如,我们显然不应将“数学的目光”“数学的思维”与“数学的语言”这三者绝对地分割开来,更重要的是,我们显然也不应将数学思维置于至高无上的地位,乃至要求“人人都应学会数学地思维”。我们应看到,数学思维只是各种思维形式中的一种,还有文学思维、艺术思维、哲学思维、科学思维等,这些思维形式都有一定的合理性和局限性(作为这方面的一个最新发展,我们还可特别提及所谓的“编程思维”或“计算思维”。建议读者有机会也不妨对此做些了解和分析,特别是大致地清晰“计算思维”与“数学思维”有什么联系与不同)。也正因此,仅仅从某一学科的视角去分析思考就必然会导致片面性的认识,无论我们在此强调的究竟是“帮助学生学会数学地思维”,还是“人人都应做到‘三会’”。这事实上都应被看成一种狭义的“学科性思维”。

那么,我们究竟应当如何认识数学教育的基本目标呢?特别是,“努力提升学生核心素养”这一思想在这方面给我们的主要启示又是什么?笔者的看法是:数学教育不应停留于帮助学生较好地掌握各种具体的数学知识和技能,而应更加注重促进学生思维的发展,我们还应由帮助学生“学会数学地思维”转向“通过数学学会思维”,即应当帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考,包括由理性思维逐步走向理性精神。

最后,笔者特别转引宗璞先生在《野葫芦引》一书中借助一位数学教授和一位历史学教授之口所给出的这样一段论述:“别的什么家多多益善,数学家和哲学家则是越少越好”“因为这两样东西能让人越学越糊涂,若能越学越明白就是万幸”。(上面引用的文字同时提到了数学与哲学这两门学科应该说并不意外,因为国人对于哲学的理解确有很大的片面性;另外,在笔者看来,这正是我们在这两个方面应该注意的一个问题:“气性不平和,则文章事功,俱无足取;语言多娇饰,则人品心术,尽属可疑”)与片面强调“人人都应学会‘三会’或数学地思维”相比较,这表明了对于相关学科,特别是其教育功能更深刻的认识,乃至自觉的反思。

为了便于读者、特别是广大一线教师阅读,本文将采取“连续讲演”这样一种形式,即分成相对独立的十讲。以下就是相关的题目,希望有助于读者先行获得一个总体的印象:(1)从“数学教育目标”讲起;(2)“数学深度教学”的具体含义;(3)什么样的数学教学要不得;(4)内容的“方法论重建”与教学中的“问题引领”;(5)思维的深刻性与“联系的观点”;(6)思维的灵活性与“变化的思想”;(7)“长时间思考”:反思与再认识;(8)乐于思考、善于思考;(9)积极的交流和互动;(10)努力帮助学生学会学习。

应当如何理解数学教育的基本目标,包括课改以来在这方面所提出的各个新的理论主张?对此,相信不少读者会提及这样一个概括:“双基”是数学教育目标的1.0版,“三维目标”是2.0版,现今提倡的“(数学)核心素养”则是3.0版。那么,我们应如何去理解这里所说的“数学核心素养”呢?这就直接涉及以下的论述:“通过基础教育阶段的数学教育,不管接受教育的人将来所从事的工作是否与数学无关,终极培养目标都可以描述为:会用数学的眼光观察世界,会用数学的思维思考世界,会用数学的语言表达世界。”

但在笔者看来,我们应该更深入地去思考这样一个问题:我们是否真的应当要求每个学生都能做到所说的“三会”,而不管他们将来所从事的工作是否与数学有关?

为了回答这一问题,还可举出这样一个例子,这个例子在一定程度上为我们提供了一个具体的画面,即如果人人都按所说的“三会”去思考和行事,我们所面临的将是一个怎样的世界?

【例1】从《红楼梦》看教育(《小学数学教师》,2019年第2期)。

这一文章的主要观点是:“《红楼梦》中有两个重要的主角,林黛玉和薛宝钗,她们的性格分别代表着数学中两种不同的问题解决策略——‘从条件想起’和‘从问题想起’。”具体地说,“林妹妹也许并不懂得数学中那些解决问题的策略,但其实她的性格特征倾向就是习惯‘从条件想起’…… 宝姐姐或许也不懂得数学中那些解决问题的策略,但其实她的性格特征倾向就是善于‘从问题想起’。”“‘从条件想起’的人行为动机是出于内心真实的感受,而‘从问题想起’的人的行为动机是出于某种想要达到的目的……‘从条件想起’和‘从问题想起’出发点不一样,它们所经历的过程以及对新问题的生成影响也都是不一样的。‘从条件想起’就像林黛玉堆起的落花冢,无用,但能触及更多人的心灵;‘从问题想起’就像薛宝钗服用的冷香丸,实用,但只为解决她一个人的病症。”

这是否可以被看成数学的一个具体应用,特别是较好地做到了“用数学的眼光观察世界,用数学的思维思考世界,用数学的语言表达世界”?进而,如此观察、思考和表达世界究竟是优点,还是把一件本来不很复杂的事情搞复杂了?

在笔者看来,这一做法将一个丰富多彩的真实世界硬性嵌入到冰冷的数学樊笼之中,或者说,用一个缺少人味的量的世界代替了“我们的质的和感知的世界,我们在里面生活着、爱着、死着的世界”(柯伊莱语)。

当然,一个实例就是一个实例,似乎不应借此“大做文章”!但即使从纯理论的角度进行分析,“三会”这一提法应当说也有不少问题。例如,我们显然不应将“数学的目光”“数学的思维”与“数学的语言”这三者绝对地分割开来,更重要的是,我们显然也不应将数学思维置于至高无上的地位,乃至要求“人人都应学会数学地思维”。我们应看到,数学思维只是各种思维形式中的一种,还有文学思维、艺术思维、哲学思维、科学思维等,这些思维形式都有一定的合理性和局限性(作为这方面的一个最新发展,我们还可特别提及所谓的“编程思维”或“计算思维”。建议读者有机会也不妨对此做些了解和分析,特别是大致地清晰“计算思维”与“数学思维”有什么联系与不同)。也正因此,仅

仅从某一学科的视角去分析思考就必然会导致片面性的认识,无论我们在此强调的究竟是“帮助学生学会数学地思维”,还是“人人都应做到‘三会’”。这事实上都应被看成一种狭义的“学科性思维”。

那么,我们究竟应当如何认识数学教育的基本目标呢?特别是,“努力提升学生核心素养”这一思想在这方面给我们的主要启示又是什么?笔者的看法是:数学教育不应停留于帮助学生较好地掌握各种具体的数学知识和技能,而应更加注重促进学生思维的发展,我们还应由帮助学生“学会数学地思维”转向“通过数学学会思维”,即应当帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考,包括由理性思维逐步走向理性精神。

上述主张集中地反映了这样一个认识:作为“思维的科学”,数学应对促进学生思维的发展发挥特别重要的作用;另外,相对于所谓的“三维目标”而言,促进学生思维的发展应当被看成具有特别的重要性,特别是,尽管数学知识与技能的学习可以被看成为学生的思维发展提供了必要的途径和载体,但是我们更应努力做到以思想方法的分析带动具体知识的学习,从而真正做到“教活、教懂、教深”;“情感态度价值观的培养”当然也应被看成数学教育的一个重要目标,但这主要是一个潜移默化的过程,即由理性思维逐步过渡到理性精神。

最后,笔者特别转引宗璞先生在《野葫芦引》一书中借助一位数学教授和一位历史学教授之口所给出的这样一段论述:“别的什么家多多益善,数学家和哲学家则是越少越好”“因为这两样东西能让人越学越糊涂,若能越学越明白就是万幸”。(上面引用的文字同时提到了数学与哲学这两门学科应该说并不意外,因为国人对于哲学的理解确有很大的片面性;另外,在笔者看来,这正是我们在这两个方面应该注意的一个问题:“气性不平和,则文章事功,俱无足取;语言多娇饰,则人品心术,尽属可疑”)与片面强调“人人都应学会‘三会’或数学地思维”相比较,这表明了对于相关学科,特别是其教育功能更深刻的认识,乃至自觉的反思。

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