郑毓信:“数学深度教学”十讲之三——什么样的数学教学要不得

明明是在讨论“深度教学”,怎么又转向“什么样的数学教学要不得”这样一个论题?因为就当前而言,大多数“要不得的数学教学”都属于“浅度教学”的范围,与“深度教学”构成了直接的对立,所以这一讲有益于我们更好地认识“数学深度教学”,包括我们当前究竟为什么要做出这样的提倡。

为此,先来看这个问题:什么是数学教学最基本的要求?

目前,人们在这方面最普遍的一项共识是:数学教学应是理解教学,而不应是一种机械的行为,也即让学生通过机械记忆与简单模仿来学习数学。这也可以看成“数学教育教学传统”的一个核心内容。

在美国的小学数学教学中,通过机械记忆与简单模仿来学习数学十分常见,于是就常常

被戏称为“美国式数学教学”。例如,在教学“颠倒相乘”这一分数除法的法则时,就有美国数学教师对学生说:“你不用去理解,也不可能理解,只要照着去做就行了。我的老师当年也是这样教我的!”

在中国,总体而言我们在这方面做得较好,但情况似乎也正在发生变化,其中重要的原因之一是校外补习的盛行。因为,校外补习的一个普遍特点就是只讲结论与算法而不讲道理。也正因此,有很多接受了此类补习的学生看上去懂了,也能正确解答相应的“常规性问题”,但很难被看成已经实现了真正的理解。

以下就是这样的一个例子。

【例3】“三角形内角和”教学片断(丁玉华.经历过程比知道结果更重要——“三角形的内角和”一课的实践与思考[J].小学教学(数学版),2018(9))

师:关于三角形的内角和,你们已经知道了什么?

生:三角形的内角和是180度。

(全班学生没有一个不举手的,回答问题时还“得意洋洋”)

师:你们都认为是180 度?(所有学生点头)我不信!

师:(课件依次出示图1、图2)请看大屏幕,这两个三角形的内角和分别是多少度?

生:都是180度。

生:三角形不管什么形状,不管多大多小,内角和永远都是180度。(全班学生依旧“自信满满”)

师:(出示图3)继续看大屏幕,如果在下面的三角形中添一条线,将它们分开,现在这两个小三角形的内角和分别是多少度呢?

(有的学生说90度,瞬间又改口说180度;也有学生说180度,但显然“口气不硬了”)

师:(出示图4)每个小三角形的内角和是多少度?把这两个小三角形拼成一个大三角形,所得大三角形的内角和是多少度?

(有的学生说360 度,瞬间又改口说180度;也有学生说180度,显然犹豫不定)

一些做法在形式上似乎有所不同,但事实上也都应被看成“要不得的数学教学”,如将数学等同于各个孤立知识的简单汇集,而没有认识到应将它们联系起来加以考察。按照现代认知心理学,“理解”无非就是指新学习的知识与主体已有的知识与经验之间建立了直接的联系(包括“同化”与“顺应”);其程度也完全取决于“联系”的数目和强度:“如果潜在地相关的各个概念的心理表征中只有一部分建立起了联系,或所说的联系十分脆弱,这时的理解就是很有限的……随着网络的增长或联系由于强化的经验或网络的精致化得到了加强,这时理解就增强了。”(希尔伯特语)

再者,以下的几何教学也应被看成完全“要不得的”,即始终停留于所谓的“直观几何”,也即对概念和图形的直观感知,却没有认识到我们必须超越直观从而更深入地研究各个图形的特征性质及其内在联系。按照范·希尔夫妇关于几何思维发展水平的分析,“直观”是最低的一个层次(其他几个层次分别是:水平2,描述/分析;水平3,抽象/关联;水平4,形式推理;水平5,严密性/元数学),从而也就清楚地表明了超越这一水平的重要性。

综上可见,“数学深度教学”最基本的一个意义是指,数学教学一定要讲道理,让学生真正做到理解,并能很好地实现对于日常经验与直观感知的必要超越。

正因为上述认识主要代表了数学教育教学的固有传统,所以我们必须针对不同情况对此做出进一步的研究。在此特别强调这样几点。

第一,围绕教学方法的改革中,一度出现的“形式主义”应被看成一种“浅度教学”。

例如,如果教师关于“搭配问题”“握手问题”“植树问题”的教学始终停留于相应的现实情境,这时学生获得的就不是真正的数学知识,而只是一种表面的理解。

又如,“为合作而合作”“为讨论而讨论”显然也可被看成这样的实例,即课堂上十分热闹,但对大多数学生而言,很难在数学上有真正的收获。

第二,从“努力提升学生的核心素养”这一立场进行分析,仅仅注意了学生的动手,却忽视了应通过动手促进学生积极地动脑,也应被看成“浅度教学”在数学领域内的又一表现。

这里所说的“动手”,不仅指具体的实物操作,还包括各种数学运作(如数学计算)。例如,在实际从事计算前,学生并没有认真去思考为什么要进行相关的计算,导致尽管相关计算取得了某些结果,但对解决面临的问题没有任何作用,出现“盲目干”的现象。

总之,这是数学教学应当切实纠正的现象:我们的学生一直在做,一直在算,一直在动手,但就是不想!

第三,如果缺乏清醒的认识,那么即使是“问题解决”的具体实践,也可能出现同样的问题。

在解题活动与内在思维之间存在十分重要的联系,如我们应当使用怎样的解题方法,又应如何对得出的结论作出论证,以及结论与方法的适当推广与必要优化等。只有围绕这些问题进行深入思考,相应的解题行为才能被看成真正的数学活动,即由单纯的“问题解决”过渡到“数学地思维”,包括由此提升学生的思维品质。

我们也可从同一角度对其他一些做法作出具体分析,如通过组织学生参与各种他们感兴趣的游戏来学习数学。这也就是指,无论教学中采取了怎样的活动形式,我们都不应忘记通过活动促进学生积极地“动脑”,更不应认为学生只需参与各种“数学活动”就可学会数学,或是认为学生的数学发展可归结为“基本活动经验”的简单积累。这些都应被看成“浅度教学”的具体表现,应通过提倡“深度教学”切实地予以纠正。

最后,社会发展,特别是科学技术的飞速进步对数学教育提出了更高的要求,直接赋予了“数学深度教学”另外一些含义。例如,“深度教学”这一概念本身就源自现代的人工智能研究。由美国普利策奖三度得主弗里德曼在《谢谢你迟到——以慢制胜,破题未来格局》一书中提到的以下一些观点,我们可以更清楚地认识到这一点:

这是社会变化对教育的最大影响:“随着流动的速度加快,它会渐渐掏空过去给我们带来安全和财富的存量知识。”“你在学校里学到的那些知识,可能你还没有出学校的大门,就已经变得过时了。”我们必须“重新思考我们的学生究竟需要哪些新的技能或态度,才能找到工作、保住工作”。

首先,我们必须树立终身学习的思想,并切实提高自身在这一方面的能力:“你必须知道更多,你必须更加频繁地更新知识,你必须运用知识做更多创造性的工作,而不仅仅是完成常规工作。”其次,我们应特别重视长时间思考与反思:“世界变化得越快……对我们生活方方面面改变得越多,每个人就越需要放慢速度……当你按下一台机器的暂停键时,它就停止运转了。但是,当一个人给自己暂停一下的时候,他就重新开始了。你开始反思,你开始重新思考你的假设前提,你开始以一种新的角度重新设想什么是可能做到的,而且,最重要的是,你内心开始与你内心深处最坚定的信仰重新建立联系……”再者,我们应清楚地认识学会合作的重要性:“到了21世纪,我们大部分人将与他人一同协作,相互提供服务……我们必须意识到,工作的固有尊严来自人与人的关系,而非人与物的关系。我们必须意识到,好的工作就是与他人沟通交流,理解他们的期许与需求……”

综上可见,“深度教学”不只是数学教育的内在要求,也是对“浅度教学”的必要纠正,更是社会进步对于数学教育的更高诉求。对此,我们将在后面结合教学实践做出进一步的论述。

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