小学数学

郑毓信:“数学深度教学”十讲之七——“长时间思考”:反思与再认识

笔者近年来经常提到这样一个观点:数学教学应当帮助学生学会“长时间思考”,这不仅因为“快思”和“慢想”都是一种重要的思维形式,还因为“快思”作为日常思维的主要形式,有一些明显的不足之处,特别是容易造成若干规律性的错误,从而需要通过“慢思”予以补救和改进(详可见另文“‘数学与思维’之深思”,《数学教育学报》,2015年第1期)。数学的一个重要特点,即任一真正的数学问题都非轻而易举地就能得到解决,而往往需要研究者(学习者)做出持续的努力(在很多人看来,这也正是数学的魅力所在)。由此可见,数学学习确实可以对人们学会“ ...

郑毓信:“数学深度教学”十讲之六——思维的灵活性与“变化的思想”

相对于思维的深刻性,人们在谈到“数学与思维发展”这一论题时恐怕更容易想到思维的敏捷性,并将此归结为单纯的“快”。这样的认识应当说有一定的片面性,因为“快”并非数学的主要诉求,而应是达到更大的思维深度(这也正是数学教学为什么应当特别重视“长时间思考”的主要原因,对此我们将在第七讲中做出专门论述)。另外,相对于对“快”的简单提倡,我们应更深入地去思考如何提升学生的思维速度。以下就围绕“变化的思想”这一普遍性思维策略做出具体分析,即我们应当通过适当变化更有效地解决问题,并很好地实现认识的不断深化。 应当指 ...

“数学深度教学”十讲之五 ——思维的深刻性与“联系的观点”

以下转向“深度教学”的第二个含义:我们应由具体的数学方法和策略过渡到一般性思维策略与思维品质的提升。由于这是一个较新的论题,我们将对此作出较详尽的论述,包括给出若干具体教学建议,以及一些相关的关键词。 从“深度教学”的角度看,我们应当通过数学教学努力提升学生思维的深刻性,即帮助他们逐步学会更深入地思考。这是特别重要的一点。 上述要求直接涉及“高度的抽象性”这一数学的本质特点:通过由特殊上升到一般,我们可以更深刻地揭示事物和现象的内在规律与本质;又由于将事物与现象联系起来加以考察是实现抽象的基 ...

“数学深度教学”十讲之四 — —内容的“方法论重建”与教学中的“问题引领”

“数学深度教学”不仅应当帮助学生很好地掌握各种具体的数学知识与技能,还应由数学知识和技能的学习深入到思维的层面,即应当帮助他们通过数学学会思维。以下就是这方面工作特别重要的两个环节: (1)教学内容的“方法论重建”; (2)“问题引领”。 1. 强调思维的发展不应被理解成用思维教学完全取代数学知识与技能的教学,而是应当用思维分析带动具体知识和技能的教学,从而真正做到“教懂、教活、教深”,即能够通过自己的教学向学生展现“活生生的”数学研究工作,而不是死的数学知识;能帮助学生真正理解相关的内容,而不是囫 ...

郑毓信:“数学深度教学”十讲之三——什么样的数学教学要不得

明明是在讨论“深度教学”,怎么又转向“什么样的数学教学要不得”这样一个论题?因为就当前而言,大多数“要不得的数学教学”都属于“浅度教学”的范围,与“深度教学”构成了直接的对立,所以这一讲有益于我们更好地认识“数学深度教学”,包括我们当前究竟为什么要做出这样的提倡。 为此,先来看这个问题:什么是数学教学最基本的要求? 目前,人们在这方面最普遍的一项共识是:数学教学应是理解教学,而不应是一种机械的行为,也即让学生通过机械记忆与简单模仿来学习数学。这也可以看成“数学教育教学传统”的一个核心内容。 在美国 ...

郑毓信:“数学深度教学”十讲之二 ——“数学深度教学”的具体涵义

在第一讲中,我们既提到了数学教学应当努力促进学生思维的发展,又认为片面强调“人人都应学会数学地思维”体现了狭窄的“学科性思维”。这两者是否有一定的矛盾?恰恰相反。笔者以为,这十分清楚地表明了由“帮助学生学会数学地思维”转向“通过数学学会思维”的重要性,后者可被看成这里所提倡的“数学深度教学”的一个重要内涵,即我们应当由突出强调具体的数学方法和策略,转变为注重一般性思维策略与思维品质的提升。 还应强调的是,上述主张反映了这样一种思考:数学教育应为大多数将来未必会从事与数学有关行业的学生作出实质性的贡 ...

郑毓信:“数学深度教学”十讲之一 ——从“数学教育目标”讲起

“深度教学”是教育领域的一个新热点,其在数学教育类刊物上的“出镜率”已达到了与“核心素养”等热词几乎持平的地步。但就整体而言,大多数文章还只是停留于“对‘教育浅层化、表层化’的直接反对”这样一个较肤浅的理解,从而清楚地表明了理论研究的滞后。当然,我们所需要的并非“大而空”的研究。例如,以下的论述无疑会使人望而生畏:“深度学习‘深’在哪里?首先‘深’在人的心灵里,‘深’在人的精神境界上,还‘深’在系统结构中,‘深’在教学规律中。”恰恰相反,我们应将理论研究与教学实践更好地结合起来,特别是应从学科教学的角度清楚指明“深度教学”的具体含义,并提供一些切实可行的教学建议,从而对于实际教学工作发挥一定的促进作用。这也正是本文的主要目标。